\documentclass [a4paper,12pt] {article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[dvips, dvipdf]{graphicx}
\usepackage{endnotes}

\begin{document}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\voffset=-5mm 
\topmargin=15pt
\headheight=0pt
\headsep=0pt
\oddsidemargin=0mm 
\evensidemargin=0mm 
\marginparwidth=0mm
\marginparsep=0mm
\textwidth=160mm
\textheight=240mm
\leftmargini=16pt
\sloppy
\let\footnote=\endnote

\section{Каган}
Каган В.Ф Основания геометрии.

\subsection{До-Евклидова}
\subsubsection{Ганези}
2000 лет до н.э. индус Ганези указал, что площадь круга равна площади прямоугольника с осонованием
ранвым длину окружности и высотой равной радиусу. Над чертежом была надпись <<смотри>>. Он
аппелировал к наглядности, что характерно для того состояния науки. Наглядность не должна заменять
строгости.
\subsubsection{Шопенгауер}
Потребность в строгом доказательстве не нужна
Доказательство теоремы Пифагора в 47 главе Начал - мышеловка.

<<Было понятно, что чувственному созерцанию нельзя доверять безусловно, и отсюда поспешно заключили,
будто одно лишь разумное логическое мышление служит порукой истины, хотя Платон (в "Пармениде"),
мегарцы, Пиррон и новые академики показали на примерах (как позднее в том же роде Секст Эмпирик),
что, с другой стороны, умозаключения и понятия тоже вводят в заблуждение и даже влекут за собой
паралогизмы и софизмы, которые возникают гораздо легче и разрешаются гораздо труднее, чем
призрачность в чувственном созерцании. И тем не менее, рационализм, возникший в противовес
эмпиризму, одержал верх, и в соответствии с ним Евклид обработал математику, поневоле обосновывая
наглядной очевидностью только одни аксиомы, а все остальное –
умозаключениями.>>\footnote{Шопенгауэр. Мир как воля и представление. кн. 1, гл. 15}
<<Точно так же и пифагорова теорема знакомит нас с qualitas occulta прямоугольного треугольника;
ходульное, даже коварное доказательство Пифагора оставляет нас беспомощными при вопросе почему,
между тем как прилагаемая уже известная нам простая фигура при первом же взгляде на нее уясняет дело
гораздо лучше этого доказательства и внушает глубокое внутреннее убеждение в необходимости этого
свойства и его зависимости от простого угла.>>\footnote{Там же}
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics{shopen.0}
\label{shopen0}
\caption{Доказательство теоремы Пифагора по Шопенгауэру.}
\end{center}
\end{figure}
<<Вообще я желал бы, чтобы математика преподавалась с помощью аналитического метода вместо
синтетического, который применял Евклид.>>\footnote{Там же}
<<Правда, в математике, как ее строит Евклид, только аксиомы представляют собой недосказуемые
главные положения, а все доказательства подчиняются им в строгой последовательности. Однако такое
построение не связано с сущностью математики, и на самом деле каждая теорема начинает собой новую
пространственную конструкцию, которая сама по себе независима от предыдущих и может быть познана,
собственно говоря, совершенно независимо от них, сама из себя, в чистом созерцании пространства, где
даже самая запутанная конструкция в сущности так же непосредственно очевидна, как и
аксиома;>>\footnote{Шопенгауэр. Мир как воля и представление. кн. 1, гл. 14Ъ
\subsubsection{Египет}
Геометрические задачи, судя по всему, требующие строгости доказательства
\subsubsection{Вавилон}
Системы счисления, высокий уровень абстракции, не столь развитая геометрия
\subsubsection{Прокл 410 -- 485гг}
Иониец Фалес Милетский (VII - VI век до н.э.) после поездки в Египет.
\subsubsection{Платон 430 - 350гг д.н.э.}
Платон не придумал, но изложил более ли менее систематически.
Роль, хотя и преувеличена но весьма значительна. Последователи --- Прокл, Таннери, Виндельбанд
Виндельбанд: <<Платон внес в математическое исследованое требование, по которому исходить должно из
определений и аксиом>>.
\subsection{Евклид}
\subsubsection{Начала (Elementa)}
Гейберг и Менге, Пейрар внесли ощутимый вклад в восстановление Начал. На сегодняшний день наиболее
точным считается Г/М, восстановленый по 10 различным версиям.
\subsubsection{Постулаты: нужно потребовать}
\begin{enumerate}
\item Чтобы от каждой точки к каждой точке можно было провести прямую линию
\item И чтобы отграничченую прямую можно было непрерывно продолжить по прямой
\item И чтобы вокруг любого центра на любом расстоянии [с любым радиусом] можно было провести
окружность.
\item И чтобы все прямые углы были друг другу равны
\item И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние
углы, составлящие [вместе] меньше двух прямых, эти прямые при неограничченом продолжении
пересекались с той стороны, с которой эти углы составляют меньше двух прямых.
\end{enumerate}
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics{parallel.0}
\label{euclid0}
\end{center}
\end{figure}

Видно, насколько пятый постулат более громоздкий, нежели остальные.
\subsubsection{Аксиомы}
\begin{enumerate}
\item {}[Вещи и величины] равные одной и той же [вещи или величине], равны между собой.
\item И если равным придать равные, то получаются равные.
\item И если от равных отнять равные, то получаются равные.
\item И [вещи], которые могут быть приведены в совмещение друг с другом, равны друг другу.
\end{enumerate}
Последняя аксиома имеет явно геометрический смысл, однако в отсутсвии определения <<движения>> не
очень строга.
\subsubsection{Абсолютная геометрия}
Геометрию Евклида можно разделить на две части --- абсолютная геометрия, не опирающаяся на 5
постулат, и собственно евклидова геометрия. Первый термин введен Ионанном Больяи и, хотя не очень
точен, в литературе прижился.
\subsection{Пост-Евклидова}
\subsubsection{Аристотель}
В Аналитике (2 аналитика, книга 1, глава 5 или первая аналитика, книга 2, глава 17)
\subsubsection{Прокл, Каган стр 112 -- 113}
<<Это положение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это --- теорема,
вызывающая много сомнений, которые Птолемей пытался устранить в одной из своих книг; однако, его
доказательство требует многих определений и теорем; и сам Евклид дает обращение этого предложения в
качестве теоремы.>>\footnote{Каган стр 112 -- 113}

Имеется ввиду, что постулаты не требуют доказательств.

<<Что же, в случае прямых линий не может именть место то, что бывает в случае других линий? До тех
пор пока мы это не обнаружим путем доказательства, свойства, свойства которые могут проявляться при
неограниченом продолжении других линий, тяготеют над нашим воображением.>>\footnote{Там же}

<<Ибо необходимо обнаружить его справедливость, но не как нечто представляющееся нам очевидным без
доказательства, а как предложение, становящееся таковым благодаря доказательству>>
\subsubsection{Клюгель, Kl\"ugel}
Ученик известного геометра Кестнера, занимал в Гёттингенском университете кафедру Евклида
Диссертация <<Обзор важнейших попыток доказательста теоремы о параллельных>>.
Из введения: <<Многие, опытные в гоеметрических доказательствах, пытались устранить эту истину из
числа аксиом; но все доказательства, которыми они эту истину старались строго установить, оказались
порочными. Другие предлагали заменить ее иными аксиомами, которые, однако, не могут считаться более
ясными, чем постулат Евклида.

Таким образом, если обозреть все попытки, то окажется совершенно правильным, что Евклид поместил это
предложение среди аксиом.>>\footnote{Каган В.Ф. Основания геометрии. часть 1, стр. 114}
\subsubsection{Буняковский}
Приводит некую классификацию в труде <<Параллельные линии>> 1854 год.
\begin{enumerate}
\item[a.] Если прямые параллельны, то при пересеченнии их третьей прямой соответственные углы равны.
\item[b.] Если прямые параллельны, то при пересечениии их третьей прямой внутренние накрестлежащие углы 
равны.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics{parallel.1}
%\caption{Постулат в форме c.}
\label{parallel-b}
\end{center}
\end{figure}
\item[c.] Через точку лежащую вне данной прямой можно только одну прямую параллельную данной.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics{parallel.2}
%\caption{Постулат в форме c.}
\label{parallel-b}
\end{center}
\end{figure}
\item[d.] Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой, расположенные в одной плоскости,
пересекаются (со стороны острого угла). Лежандр, Туси.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics{parallel.3}
%\caption{Постулат в форме d.}
\label{parallel-b}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}
Определения параллельности
\begin{itemize}
\item Параллельными называются такие прямые, которые находясь в одной плоскости, не сближаются и не
удаляются одна от другой, так что все перпендикуляры проведенные из точек одной из них к другой,
равны между собой. Посейдоний, Симплиций, Агинус.
\item Параллельные прямые определюятся как такие, которые встречаются в бесконечно удаленной точке.
Кеплер, Гаусс, Дезарг. Параллельность в проективных пространствах, однако на сегодняшний день она
вводится иным образом.
\item Параллельными называются линии, расположеные в одной плоскости и имеющие одно и то же
направление.
\end{itemize}
Классификация доказательств.
\begin{enumerate}
\item Непосредственно или после рядя переходов переформулируют V постулат, такие как доказательства
Прокла, Насир-Эдина, Валлиса. Сюда же Буняковский
относит те, которые используют альтернативные определения параллельности.
\item Оперирующие бесконечно большими или бесконечно малыми величинами, например, доказательство
Бертрана опубликованное в 1778 году и ведущееся через <<размер>> угла на плоскости.
\item Опирающиеся на однородность, например, доказательство Лежандра $C = \varphi(A, B, c)$.
\item Физика, механика. Если приложить в каждой точке равные силы.
\end{enumerate}
\subsection{Пре-Лобоачевский}
\subsubsection{Лежандр}
Почти все сделал Саккери и Ламберт
Сумма углов треугольника и пятый постулат эквивалентны.
Доказательство по однородности.
Если $C = \varphi(A, B, c)$, при этом если  $с = \varphi'(A, B. C)$
Положим $C = 1$, прямой угол в прямоугольном треугольнике.
Тогда $A = \xi(B)$ и $B = \xi(A)$ В прямоугольном треугольнике получается что $A + B = C = 1$

Возражение --- сферическая тригонометрия, но там $c$ представляется угловой безразмерной величиной.
Еще одно (Гаусс) --- в $\varphi$ может входить величина $m$ --- единица длины.
\subsubsection{Саккери [1667 -- 1773]}
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics{parallel.4}
\caption{Прямоугольник Саккери}
\label{saccery}
\end{center}
\end{figure}

Если перевернуть прямоугольник $ABB'A'$ и наложить его на себя, поскольку стороны $AA'$ и $BB'$
и углы при $A$ и $B$ равны, это возможно, то углы при $A'$ и $B'$ тоже равны, $CC' \bot AB$ и 
$CC' \bot A'B'$. Далее Саккери расматривает три случая --- гипотезу тупого, прямого и острого углов.
В первом случае приходит к противоречию, во втором --- евклидова гоеметрия.

Саккери строит теорию на основне гипотезы острого угла, однако в конце концов запутывается и в
XXXIII теореме допускает ошибку. Он утверждает, что если две прямые неограничено сходятся, то они
пересекаются в бесконечно удаленной точке и в ней можно провести к ним общий перпендикуляр. Это 
е, по его словам <<Гипотеза острого угла совершенно ложна ибо противоречит природе прямой
линии>>\footnote{(Каган, 147)}. Однако осознавая слабость этого опровержения, он приводит еще несколько.

\subsubsection{Ламберт}
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics{parallel.5}
\caption{Прямоугольник Ламберта}
\label{lambert0}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics{parallel.6}
\caption{Построения Ламберта}
\label{lambert1}
\end{center}
\end{figure}

Ламберт в своих работах отталкивался от прямоугольника, очень напоминающего аналогичный у Саккери.
Далее он рассматривал те же три гипотезы, тупого, прямого и острого углов.

<<Мне кажется очень замечательным, что вторая гипотеза оправдывается, если вместо плоских
треугольников возьмем сферические. Я из этого почти должен был бы сделать заключение, что третья
гипотеза имеет место на какой-то мнимой сфере. Во всяком случае должна же существовать причина,
почему она не так легко поддается опровержению, как это могло быть сделано в отношении второй
гипотезы>>\footnote{Каган. В.Ф. стр. 150}

<<В этом есть что-то замечательное восхитительное, что вызывает даже желание чтобы третья гипотеза
была справедлива! И все же я желал бы, несмотря на это приемущество, чтобы это было не так, потому
что это было бы сопряжено с целым рядом других неудобств>> \footnote{стр. 150}

Его вывод таков же как и Клюгеля, Евклид был прав поместив это утверждение среди постулатов.

Аргументы <<вызываемые любовью и недоброжелательством>> \footnote{там же, 150}

\subsubsection{Швейкарт (28.II.1780 - 17.VIII.1857)}
Астральная геометрия, Харьков

<<Если же эта константа [высота прямоугольного треугольника] для нас равна радиусу Земли (в каковом случае всякая линия, проведенная в
пространстве от одной неподвижной звезды к другой, отстоящей от нее на 90 градусов, была бы
касательной к земному шару), то она бесконечно велика по сравнению с протяжениями, которые мы
встречаем в повседневной жизни.

Евклидова геометрия имеет место только в том случае, если константа бесконечно велика. Только в этом
случае сумма углов каждого треугольника равна двум прямым, и это легко доказать, если принять, что
константа бесконечно велика>>\footnote{Записка Швейкарта по мемуарам Я.П. Бланка. "Страницы истории
развития геометрии и кафедры геометрии Харьковского государственного университета"}
\subsubsection{Тауринус}
\subsection{Лобачевский}
Мемуары <<Воображаемая геометрия>>
<<Кто ни думал найти решение затруднительного вопроса, все бещ исключения ошибались, будучи
предубеждены в справедливости того, что не может еще следовать из наших понятий о телах без пособия
наблюдений>>\footnote{Каган, стр 152}

\section{БСЭ}

Лобачевского геометрия, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная
евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о
параллельных Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных гласит: через точку, не лежащую на
данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не
пересекающая её. В Л. г. вместо неё принимается следующая аксиома: через точку, не лежащую на данной
прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не
пересекающие её. Казалось бы, эта аксиома противоречит чрезвычайно привычным представлениям. Тем не
менее как эта аксиома, так и вся Л. г. имеет вполне реальный смысл (о чём см. ниже). Л. г. была
создана и развита Н. И. Лобачевским, который впервые сообщил о ней в 1826. Л. г. называется
неевклидовой геометрией, хотя обычно термину "неевклидова геометрия" придают более широкий смысл,
включая сюда и др. теории, возникшие вслед за Л. г. и также основанные на изменении основных посылок
евклидовой геометрии. Л. г. называется специально гиперболической неевклидовой геометрией (в
противоположность эллиптической геометрии Римана) (см. Неевклидовы геометрии, Римана геометрия).

Л. г. представляет теорию, богатую содержанием и имеющую применение как в математике, так и в
физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность
геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики
вообще (см. Геометрия). С современной точки зрения можно дать, например, следующее определение Л. г.
на плоскости: она есть не что иное, как геометрия внутри круга на обычной (евклидовой) плоскости,
лишь выраженная особым образом. Именно, будем рассматривать круг на обычной плоскости (рис. 1) и
внутренность его, т. е. круг, за исключением ограничивающей его окружности, назовем "плоскостью".
Точкой "плоскости" будет точка внутри круга. "Прямой" будем называть любую хорду (например, а, b,
b', MN) (с исключенными концами, т. к. окружность круга исключена из "плоскости"). "Движением"
назовем любое преобразование круга самого в себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно,
равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда
оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или
аксиому Л. г. Иными словами, всякое утверждение Л. г. на плоскости есть не что иное, как утверждение
евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах.
Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, т. к. через точку О, не лежащую на
данной хорде а (т. е. "прямой"), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд ("прямых")
(например, b, b'). Аналогично, Л. г. в пространстве может быть определена как геометрия внутри шара,
выраженная в соответствующих терминах ("прямые" - хорды, "плоскости" - плоские сечения внутренности
шара, "равные" фигуры - те, которые переводятся одна в другую преобразованиями, переводящими шар сам
в себя и хорды в хорды). Таким образом, Л. г. имеет совершенно реальный смысл и столь же
непротиворечива, как геометрия Евклида. Описание одних и тех же фактов в разных терминах или,
напротив, описание разных фактов в одних и тех же терминах представляет характерную черту
математики. Она ясно выступает, например, когда одна и та же линия задаётся в разных координатах
разными уравнениями или, напротив, одно и то же уравнение в разных координатах представляет
различные линии.

Возникновение геометрии Лобачевского. Источником Л. г. послужил вопрос об аксиоме о параллельных,
которая известна также как V постулат Евклида (под этим номером утверждение, эквивалентное
приведённой выше аксиоме о параллельных, фигурирует в списке постулатов в "Началах" Евклида). Этот
постулат, ввиду его сложности в сравнении с другими, вызвал попытки дать его доказательство на
основании остальных постулатов.

Вот неполный перечень учёных, занимавшихся доказательством V постулата до 19 в.: древнегреческий
математики Птолемей (2 в.), Прокл (5 в.) (доказательство Прокла основано на предположении о
конечности расстояния между двумя параллельными), Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец 10 - начало 11 вв.)
(Ибн аль-Хайсам пытался доказать V постулат, исходя из предположения, что конец движущегося
перпендикуляра к прямой описывает прямую линию), таджикский математик Омар Хайям (2-я половина 11 -
начало 12 вв.), азербайджанский математик Насирэддин Туей (13 в.) (Хайям и Насирэддин при
доказательстве V постулата исходили из предположения, что две сходящиеся прямые не могут при
продолжении стать расходящимися без пересечения), немецкий математик К. Клавий (Шлюссель, 1574),
итальянские математики П. Катальди (впервые в 1603 напечатавший работу, целиком посвященную вопросу
о параллельных), Дж. Борелли (1658), Дж. Витале (1680), английский математик Дж. Валлис (1663,
опубликовано в 1693) (Валлис основывает доказательство V постулата на предположении, что для всякой
фигуры существует ей подобная, но не равная фигура). Доказательства перечисленных выше геометров
сводились к замене V постулата др. предположением, казавшимся более очевидным. Итальянский математик
Дж. Саккери (1733) сделал попытку доказать V постулат от противного. Приняв предложение,
противоречащее постулату Евклида, Саккери развил из него довольно обширные следствия. Ошибочно
признав некоторые из этих следствий приводящими к противоречиям, Саккери заключил, что постулат
Евклида доказан. Немецкий математик И. Ламберт (около 1766, опубликовано в 1786) предпринял
аналогичные исследования, однако он не повторил ошибки Саккери, а признал своё бессилие обнаружить в
построенной им системе логическое противоречие. Попытки доказательства постулата предпринимались и в
19 в. Здесь следует отметить работы французского математика А. Лежандра; одно из его доказательств
(1800) основано на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую,
пересекающую обе стороны угла, т. е., как и все его предшественники, он заменил постулат др.
допущением. Довольно близко к построению Л. г. подошли немецкие математики Ф. Швейкарт (1818) и Ф.
Тауринус (1825), однако ясно выраженной мысли о том, что намечаемая ими теория будет логически столь
же совершенна, как и геометрия Евклида, они не имели.

Вопрос о V постулате Евклида, занимавший геометров более двух тысячелетий, был решен Лобачевским.
Это решение сводится к тому, что постулат не может быть доказан на основе др. посылок евклидовой
геометрии и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить
геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Лобачевский сделал
об этом сообщение в 1826, а в 1829-30 напечатал работу "О началах геометрии" с изложением своей
теории. В 1832 была опубликована работа венгерского математика Я. Больяй аналогичного содержания.
Как выяснилось впоследствии, немецкий математик К. Ф. Гаусс также пришёл к мысли о возможности
существования непротиворечивой неевклидовой геометрии, но скрывал её, опасаясь быть непонятым. Хотя
Л. г. развивалась как умозрительная теория и сам Лобачевский называл её "воображаемой геометрией",
тем не менее именно Лобачевский рассматривал её не как игру ума, а как возможную теорию
пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были
указаны её интерпретации и тем полностью решен вопрос о её реальном смысле, логической
непротиворечивости.

Интерпретации (модели) геометрии Лобачевского. Л. г. изучает свойства "плоскости Лобачевского" (в
планиметрии) и "пространства Лобачевского" (в стереометрии). Плоскость Лобачевского - это плоскость
(множество точек), в которой определены прямые линии, а также движения фигур (вместе с тем -
расстояния, углы и пр.), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о
параллельных, которая заменяется указанной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется
пространство Лобачевского. Задача выяснения реального смысла Л. г. состояла в нахождении моделей
плоскости и пространства Лобачевского, т. е. в нахождении таких объектов, в которых реализовались бы
соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии Л. г. (об интерпретации
вообще см. Геометрия, раздел Истолкования геометрии). Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868
заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях
постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера (рис. 2). Если
точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии
(геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры
по псевдосфере с изгибанием, т. е. деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме Л. г. будет
отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. Т. о., Л. г. получает простой реальный смысл. При этом
длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Однако здесь
даётся интерпретация только геометрии на куске плоскости Лобачевского, а не на всей плоскости и тем
более не в пространстве (в 1901 Д. Гильберт доказал даже, что вообще в евклидовом пространстве не
может существовать регулярной поверхности, геометрия на которой совпадает с геометрией всей
плоскости Лобачевского).

В 1871 Ф. Клейн указал ту модель как всей плоскости, так и пространства Лобачевского, которая была
описана выше и в которой плоскостью служит внутренность круга, а пространством - внутренность шара.
Между прочим, в этой модели расстояние между точкам (рис. 1) определяется как ; угол - ещё сложнее.

Позже А. Пуанкаре в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За
плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (рис. 3), прямыми считаются дуги окружностей,
перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями - преобразования, получаемые
комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми. Модель Пуанкаре
замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами. Исходя из таких соображений, можно
строить модель Л. г. в пространстве.

Коротко модели Клейна и Пуанкаре можно определить так. В обоих случаях плоскостью Лобачевского может
служить внутренность круга (пространством - внутренность шара), и Л. г. есть учение о тех свойствах
фигур внутри круга (шара), которые в случае модели Клейна не изменяются при проективных, а в случае
модели Пуанкаре - при конформных преобразованиях круга (шара) самого в себя (проективные
преобразования есть те, которые переводят прямые в прямые, конформные - те, которые сохраняют
углы).

Возможно чисто аналитическое определение модели Л. г. Например, точки плоскости можно определять как
пары чисел х, у, прямые можно задавать уравнениями, движения - формулами, сопоставляющими точкам (х,
у) новые точки (х', y"). Это будет абстрактно определённая аналитическая геометрия на плоскости
Лобачевского, аналогично аналитической геометрии на плоскости Евклида. Т. к. Лобачевский дал основы
своей аналитической геометрии, то тем самым он уже фактически наметил такую модель, хотя полное её
построение выяснилось уже после того, как на основе работ Клейна и других выявилось само понятие о
модели. Другое аналитическое определение Л. г. состоит в том, что Л. г. определяется как геометрия
риманова пространства постоянной отрицательной кривизны (см. Римановы геометрии). Это определение
было фактически дано ещё в 1854 Б. Риманом и включало модель Л. г. как геометрии на поверхностях
постоянной кривизны. Однако Риман не связал прямо своих построений с Л. г., а его доклад, в котором
он о них сообщил, не был понят и был опубликован лишь после его смерти (в 1868).

Содержание геометрии Лобачевского. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных
геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому,
как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь
начинается отличие Л. г. от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных,
общи обеим геометриям и образуют т. н. абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы
о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились др. отделы, включая тригонометрию
и начала аналитической и дифференциальной геометрии. Приведём несколько фактов Л. г., отличающих её
от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.

1) В Л. г. не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы
равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам,
подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например,
сторона правильного треугольника с данной суммой углов.

2) Сумма углов всякого треугольника меньше p и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это
непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность p - (a + b + g), где a, b, g - углы треугольника,
пропорциональна его площади.

3) Через точку О, не лежащую на данной прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а
и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b, b', которые и называются
параллельными прямой а в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами
(дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) а общий конец (который по определению модели
исключается, так что эти прямые не имеют общих точек) (рис. 1,3). Угол ее между прямой b (или b') и
перпендикуляром из О на а - т. н. угол параллельности - по мере удаления точки О от прямой убывает
от 90? до 0? (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и
потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель b с одной стороны (а b' с
противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой - бесконечно от неё удаляется (в
моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).

4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К
любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.

5) Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или
гиперциклом.

6) Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая,
называемая предельной окружностью, или орициклом.

7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность -
предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это
служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.

9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические
соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в
бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем
меньше сумма его углов отличается от p; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к
радиусу отличается от 2p, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины,
поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Л. г. переходят в формулы евклидовой
геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле "предельный" случай Л. г.

Л. г. продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение,
многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров
развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных
применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом Л. г. является
обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.

Приложения геометрии Лобачевского. Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых
интегралов. В теории функций комплексного переменного Л. г. помогла построить теорию автоморфных
функций. Связь с Л. г. была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что
"неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи". Л. г. находит применение также в теории
чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием "геометрия чисел" (см. Чисел теория).
Была установлена тесная связь Л. г. с кинематикой специальной (частной) теории относительности (см.
Относительности теория). Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения
света

x2 + y2 + z2 = c2t2

при делении на t2, т. е. для скорости света, даёт

vx2 + vy2 + vz2 = c2

- уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz - составляющими скорости по осям х, у, z
(в "пространстве скоростей"). Лоренца преобразования сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны,
переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в
пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет
место Л. г.

Замечательное приложение Л. г. нашла в общей теории относительности (см. Тяготение). Если считать
распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах
допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет Л. г. Т. о.,
предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.

\section{Квант}

\subsection{От Евклида до Лобачевского}

Сам Евклид (IV в. до н. э.) принимал в качестве аксиомы параллельных следующее предложение (у
Евклида оно было "пятым постулатом") :

Если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух
прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы
меньше двух прямых.

Мы привели эту формулировку Евклида только затем, чтобы можно было убедиться в ее сложности. Другие
постулаты гораздо проще и формулируются гораздо короче, начиная с первого:

Через всякие две точки можно провести прямую.

Естественно возникали попытки освободиться от сложного пятого постулата, вывести его из других
основных посылок геометрии. Я думаю, что сам Евклид предпринимал такие попытки и, во всяком случае,
в его время уже были такие попытки. Известно упоминание у арабских авторов не дошедшего до нас
сочинения Архимеда (1П в. до н. э.) "О параллельных линиях", где, надо полагать, пятый постулат
выводился из каких-то более простых посылок.

Попытки доказать пятый постулат продолжались с тех пор в течение 2000 лет. Их предпринимало
множество ученых. Вот неполный перечень:

    греки Птолемей (2 в. н. э., тот самый Птолемей, "которого система") и Прокл (5 в.),
    араб ал-Хайсам (10 в.),
    перс (или таджик) Омар Хайям (11 в. - начало 12 в., тот самый Хайям,   который известен как великий поэт),
    азербайджанец ат-Туси (13 в.),
    немец Клавий-Шлюссель (1514; здесь и дальше дата работы),
    итальянцы Катальди (1603), Борелли (1658) и Витале (1680),
    англичанин Валлис (1663),
    итальянец Саккери (1733),
    немец Ламберт (1766),
    французы Бертран (1778) и Лежандр (1794, 1823),
    русский Гурьев (1798).

Все их попытки сводились к тому, что пятый постулат выводился из какого-нибудь другого положения.
При этом многие не замечали этого, считая, что доказательство им удалось. Другие, более
проникновенные и критичные, явно формулировали то положение, из которого выводили пятый постулат,
как это сделал, например, Омар Хайям.

Напряжение поисков доказательства с бурным развитием математики в 17-18 вв. возрастало.

Значительные усилия сделал итальянский монах, преподаватель математики и грамматики Джироламо
Саккери, труд которого с попыткой доказательства пятого постулата появился в 1733 году - в год его
смерти. Он называется "Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка установить
первые начала всей геометрии". Отправляясь от работ своих предшественников, Саккери пытается
доказать пятый постулат от противного - приняв предположение, равносильное отрицанию пятого
постулата, он выводил из него следствия, стремясь прийти к противоречию. Но так как отрицание пятого
постулата есть аксиома Лобачевского, то выводы, которые получал Саккери, были не более и не менее
как теоремами геометрии Лобачевского. Иначе говоря, Саккери развивал новую геометрию, не понимая,
однако, того, что делает.

К. противоречию он не пришел, но все же заключил, что ему удалось доказать пятый постулат, хотя,
по-видимому, он не был в этом вполне уверен. Он как бы убеждал сам себя, когда писал о гипотезе,
равносильной отрицанию пятого постулата, что он "вырвал эту зловредную гипотезу с корнем".

Из довольно многочисленных (55) появившихся в 18 в. сочинений по теории параллельных особенно
выделяется написанная в 1766 г. "Теория параллельных" И. Г. Ламберта, немецкого математика, физика и
астронома. Ведя доказательство пятого постулата от противного, Ламберт вывел из его отрицания много
следствий. Он, можно сказать, в значительной мере построил основы геометрии Лобачевского. В его
выводах не было противоречия, и он не подумал, что нашел его, как это делали почти все его
предшественники. Ламберт даже высказал мысль, что он "почти должен сделать вывод", что опровергаемая
им гипотеза "имеет место на какой-то мнимой сфере". Но все же он остался уверен, что геометрия,
основанная на отрицании пятого постулата, невозможна. Его работа не давала, однако, доказательства
этому убеждению. Поэтому, надо думать, он остался ею недоволен и не опубликовал ее. Она была издана
только в 1786 г. - через 9 лет после его смерти и через 20 лет после того, как она была написана. В
общем Ламберт очень близко подошел к открытию новой геометрии, но не сделал его.

Вплотную подошли к пониманию возможности неевклидовой геометрии немецкие математики Швейкарт (1818)
и Тауринус (1825), но ясно выраженной мысли, что намечаемая ими теория будет столь логически
законной, как и геометрия Евклида, они все же не высказали.

Гаусс, по его собственному свидетельству, занимался теорией параллельных с 1792 г. и, как видно из
его переписки, постепенно приходил к убеждению, что доказательство пятого постулата невозможно. Так,
в 1817 г. в письме к Ольберсу он писал:

"Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по
крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка".

Раз он пишет "прихожу все более", то значит еще не пришел окончательно.

Далее он продолжает: "Может быть, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу
пространства, которые нам теперь недоступны. До тех пор геометрию приходится ставить не в один ранг
с арифметикой, существующей чисто априори, а скорее с механикой..."

В то время он далеко развил неевклидову геометрию, но только в 1824 г. в письме к Тауринусу он
написал определенно, что нееквлидова геометрия, "в которой сумма углов треугольника меньше
$180^\circ$,
совершенно последовательна" и что он "развил ее для себя совершенно удовлетворительно". Однако
только в 1831 г. он взялся за то, чтобы изложить, хотя бы кратко, свои выводы, но за всю свою жизнь
так ничего и не опубликовал по поводу неевклидовой геометрии. В 1829 г. в письме к Бесселю он писал:
"Я опасаюсь крика беотийцев, если выскажу мои воззрения...". Он боялся подорвать свой научный
авторитет.

Беотийцы, жители области Древней Греции Беотии, считались особо глупыми, так что название "беотиец"
было нарицательным.

Но когда Гаусс писал все это, уже нашелся человек, который не только совершенно удовлетворительно
развил геометрию, отрицающую пятый постулат, и не только пришел к убеждению, что эта геометрия
совершенно последовательна, но, не убоявшись ничьего крика, доложил все это научному собранию. Это
был Николай Иванович Лобачевский, который пришел к убеждению о возможности неевклидовой геометрии
еще в 1824 г. и представил доклад с изложением ее начал физико-математическому факультету Казанского
университета 23 (11) февраля 1826 года; опубликовал он его в расширенном виде в работе "О началах
геометрии" в ряде выпусков "Казанского вестника", научного издания Казанского университета, с
февраля 1829 по август 1830 г.

В 1835-38 гг. Лобачевский публикует более развитое изложение своей теории "Новые начала геометрии с
полной теорией параллельных", в предисловии к которому пишет:

"Напрасное старание со времен Евклида, в продолжении двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что
в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить,
подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения".

Для Лобачевского вопрос об истинности той или иной геометрии был, стало быть, вопросом опыта; свою
геометрию он рассматривал как возможную теорию свойств реального пространства, то есть свойств
структуры соответствующих отношений материальных тел и явлений.

Почти одновременно с Лобачевским - в 1825 г. - к той же геометрии пришел молодой венгерский
математик Янош Больяи. Свои выводы Янош Больяи изложил в 1832 г. в качестве приложения (Аппендикса)
к учебнику геометрии своего отца Фаркаша Больяи.

Ближе венгерскому произношению - Бойаи, у нас можно встретить также написаны Больяи, Бойаи, Бояи.

Фаркаш Больяи послал учебник Гауссу. Тот, одобрительно отозвавшись о результатах Яноша, написал
вместе с тем, что все это ему давно известно. Янош, понимавший значение своих открытий, решил, что
Гаусс просто приписал их себе. Он надолго прекратил свои занятия неевклидовой геометрией. Но
Лобачевский продолжал разрабатывать свою геометрию и публиковать работы с ее изложением вплоть до
самой смерти.

Нельзя удивляться, что новая геометрия могла казаться невозможной. Посмотрите на рисунок 3: ясно,
что прямая СМ, если ее достаточно далеко продолжить, обязательно пересечет прямую АВ. Допущение,
будто через одну точку проходят две прямые, параллельные данной, совершенно противоречит наглядному
представлению. Такое допущение кажется просто нелепым. Никакой неевклидовой геометрии быть не
может!

Тем более нужно отдать должное смелости мысли Лобачевского и Больяи, которые решились допустить
"нелепость". Нелепость с точки зрения наглядного представления - да, но с точки зрения логики -
другое дело. Как ни кажется наглядно нелепым допущение многих параллелей, логически оно допустимо.
Нужна была большая смелость мысли, чтобы твердо убедиться в этом, хотя теперь, когда найден простой
смысл неевклидовой геометрии, никакой смелости мысли не нужно - достаточно самой небольшой
способности к отвлеченному мышлению.

\subsection{От убеждения к доказательству}

Итак, Лобачевский и Больяи публично, а Гаусс в письмах выразили убеждение в правомерности
неевклидовой геометрии и далеко развили ее. Однако это убеждение основывалось только на том, что в
полученных выводах не было противоречий. Но ведь можно было бы думать, что в дальшейших выводах
противоречия все же появятся. Реальный смысл новой геометрии оставался совершенно неясным. И пока он
не был найден, великое открытие все же висело в воздухе - геометрия Лобачевского оставалась не более
чем воображаемой.

В 1839-40 гг. появились две работы профессора Дерптского (ныне Тартуского) университета Ф. Миндинга,
в которых он исследовал некоторые специальные поверхности - поверхности постоянной отрицательной
кривизны. В этих работах по существу заключался вывод, что геометрия на таких поверхностях есть не
что иное, как геометрия Лобачевского. Но этот вывод там не был явно высказан. Интересно, что двумя
годами раньше в том же журнале, где были напечатаны работы Миндинга. была опубликована одна из работ
Лобачевского!

В 1854 г., при вступлении на должность профессора Геттингенско-го университета, Б. Риман, как это
полагалось, прочел пробную лекцию. Лекция называлась "О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии".
Она содержала необычайное богатство плодотворных идей - от общей концепции математического
пространства до предвидения того, что стало потом общей теорией относительности. Кроме того, в
лекции была намечена общая теория некоторого типа пространств (называемых теперь римановыми),
которые включают, как простейшие частные случаи, пространства Евклида, Лобачевского и так
называемые сферические пространства. Риман дал чисто аналитическое определение этих пространств; это по
существу означало, что геометрия Лобачевского в такой же степени непротиворечива, как и анализ.

Но этого никто не понял, не заметил. Лекция Римана осталась не понятой И только слушавший ее старый,
77-летний Гаусс ушел, как свидетельствуют, после лекции в глубокой задумчивости. Лекция Римана не
была сразу опубликована, ее издали только в 1868 г., через 2 года пбсле его смерти. И тогда она
сразу произвела величайшее впечатление, вызвала бурное развитие намеченной в ней теории.

Тогда же, в 1868 г., итальянский математик Бельтрами сделал то, до чего дошел, но чего не сказал
Миндинг, - он показал, что геометрия Лобачевского выполняется на поверхностях постоянной
отрицательной кривизны.

Однако выводы Бельтрами были аналитическими, далекими от элементарной геометрии, от Евклида. Лишь в
1871 г. Клейн заметил ту модель на круге, о которой шла речь в начале статьи. Позднее Пуанкаре нашел
другую интересную модель, связанную с комплексными числами (см. "Квант", 1976, № 3. с. 7).

Так через 40 лет после опубликования первых работ Лобачевского и Больяи их убеждение было доказано и
их геометрия получила всеобщее признание.

Оглянемся теперь на историю пятого постулата Евклида. Лобачевский сказал о ней: "Напрасные
старанья... в продолжение двух тысяч лет". Но какие старанья! Множество математиков расточает их, и
каких математиков! Среди них знаменитейшие имена: попытки открываются, возможно, Архимедом, проходят
через Омара Хайяма и подходят к завершению с Гауссом.

Попытки доказать пятый постулат были, как мы выяснили раньше, совершенно естественными. Но 2000 лет
никто не догадывался, что доказательство невозможно. Никто не мог подумать, что возможна какая-то
геометрия, отличная от привычной евклидовой. Ее неразрывная связь с нашим пространственным опытом и
наглядным представлением, ее логическое совершенство и прозрачность, вековые традиции ее изучения и,
можно сказать, исповедания - все это делало геометрию Евклида непререкаемой, как бы абсолютно
необходимой, присущей и миру, и разуму. Ее происхождение из практики затмевалось совершенством и
ясностью ее логики: И дошло, наконец, до того, что в 1781 г. великий философ Кант в своей "Критике
чистого разума" счел геометрию априорной - независимой от опыта - и основал на этом вывод об
априорности самого пространства, которое для него - не форма, присущая миру, а только форма нашего
восприятия, форма "наглядного созерцания".

\end{document}
